4инф. Арифметические основы ЭВМ.

Система счисления – это способ представления числа, посредством определенного набора символов.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных с/с вес цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Римская форма чисел:

I V X   L   C      D        M

1 5 10 50  100   500      1000

Остальные числа получаются как результат сложения или вычитания основных.

VL(45)      CL1(151)   

В позиционных с/с  вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, арабская форма чисел

Любая позиционная с/с характеризуется своими базисом и  основанием.

Базис - совокупность различных знаков или символов, используемых в позиционной с/с для записи чисел.

Основание - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Система счисления	Основание	Базис
2с/с	2	0,1
5с/с	5	0,1,2,3,4
8с/с	8	0,1,2,3,4,5,6,7
10с/с	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
16с/с	16	0-9,A,B,C,D,E,F

Например,

1011,1₂=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰+1*2^-1

276,52₈=2*8²+7*8¹+6*8⁰+5*8^-1+2*8^-2

Для общения с ЭВМ используются сист счисления:

• двоичная (0,1)
• восьмиричная (0,1,2,3,4,5,6,7)
• шестнадцатиричная (0-9,A,B,C,D,E,F)

Использование 2 с/с в ЭВМ объясняется рядом причин:

-для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток-нет тока, намагничен-ненамагничен и т.п.);

-представление информации посредством двух состояний надежно и помехоустойчиво;

двоичная арифметика значительно проще десятичной;

-двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты.

Почему используются 8 с/с и 16 с/с?

Двоичная система, удобная для ЭВМ, для человека неудобна из-за громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из 10 с/с в 2 с/с и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать ЭВМ, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны 8 с/с и 16 с/с.

Перевод чисел из 8 с/с и 16 с/с в 2 с/с: нужно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр):

 

Перевод чисел из 10 с/с в 2с/с, 8 с/с, 16 с/с (Р-ую с/с).

Перевод целых чисел:

-Исходное число разделить на основание новой с/с (Р). Остаток от деления записать в новой с/с. Это младшая цифра искомого числа.

-Если частное от деления равно 0, то искомое число получено

-Если частное не равно 0, то разделить его на Р. Остаток от деления записать в новой с/с. Это предыдущая цифра искомого числа.

-Число с основанием Р записывается как последовательность остатков от деления в обратном порядке, начиная с последнего.

Выполнить перевод из 10 в 2 с.с числа 19,847

(19,847)₁₀=(10011,1101…)₂

Перевод из 2 в 10 с.с по форме кодирующего алгоритма

(10011,1101)₂=1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4=….=(19,8125)₁₀

Поразрядные операции- операции, которые осуществляются над одноименными разрядами чисел независимо от соседних разрядов.

Поразрядное дополнение – получение инверсного кода числа.

Поразрядное сложение - заключается в сложении одноименных разрядов чисел по модулю 2 в соответствии с правилом

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

 

сложение	Вычитание	умножение
0+0=0	0-0=0	0*0=0
0+1=1	0-1=1	0*1=0
1+0=1	1-1=0	1*0=0
1+1=10	10-1=1	1*1=1

Например:

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, происходит перенос единицы в следующий слева разряд. При вычитании, если необходимо, делают заем. В ВТ с целью упрощения реализации арифметических операций применяют специальные коды: прямой, обратный, дополнительный. За счет этого облегчается определение знака результата операции, а операция вычитания чисел сводится к арифметическому сложению. В результате упрощаются устройства, выполняющие арифметические операции.

Прямой код складывается из знакового разряда (старшего) и собственно числа. Знаковый разряд имеет значение

0 – для положительных чисел;

1 – для отрицательных чисел.

Например: прямой код для чисел –4 и 5:

-4 4₁₀=100₂ 1_100

5 5₁₀=101₂ 0_101

Обратный код образуется из прямого кода заменой нулей - единицами, а единиц - нулями, кроме цифр знакового разряда. Для положительных чисел обратный код совпадает с прямым. Используется как промежуточное звено для получения дополнительного кода.

Например:

Прямой код 1_100 1_101

Обратный код 1_011 1_010

Дополнительный код образуется из обратного кода добавлением 1 к младшему разряду.

Например: найти дополнительный код -7₁₀

-7₁₀=111₂

Прямой код 1_111

Обратный код 1_000

Дополнительный код :1_001 (1_000+1)

Правило сложения двоичных чисел:

При алгебраическом сложении двоичных чисел с использованием дополнительного кода положительные слагаемые представляют в прямом коде, а отрицательные – в дополнительном коде. Затем производят суммирование этих кодов, включая знаковые разряды, которые при этом рассматриваются как старшие разряды. При возникновении переноса из знакового разряда единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую сумму в прямом коде, если эта сумма положительная, и в дополнительном коде, если сумма отрицательная.